（2014•成都三模）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为正方形AA1D1D的中心，N为棱AB的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BB1D1D；（Ⅱ）求四棱锥N-BB1D1D的体积．

Question

（2014•成都三模）如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M为正方形AA₁D₁D的中心，N为棱AB的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）求四棱锥N-BB₁D₁D的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AD中点O，连接OM，ON，
∵M为正方形AA₁D₁D的中心，N为棱AB的中点，
∴OM∥D₁D，ON∥BD，
∵OM∩ON=O，D₁D∩BD=D，
∴平面MON∥平面BB₁D₁D，
∵MN⊂平面MON，
∴MN∥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）N到平面BB₁D₁D的距离为(√(2))/(4)•2=(√(2))/(2)，
∴四棱锥N-BB₁D₁D的体积为(1)/(3)•√(2)•2•(√(2))/(2)=(2)/(3)．