如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P、Q分别是棱DD1、CC1的中点．（1）画出面D1BQ与面ABCD的交线，简述画法及确定交线的依据．（2）求证：平面D1BQ∥平面PAO．

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心，P、Q分别是棱DD₁、CC₁的中点．

（1）画出面D₁BQ与面ABCD的交线，简述画法及确定交线的依据．（2）求证：平面D₁BQ∥平面PAO．

Answer 1

（1） 作法：延长D₁Q与DC，交于点M，连接BM．得BM即为面D₁BQ与面ABCD的交线…（2分）
理由如下：
由作法可知，M∈直线D₁Q，
又∵直线D₁Q⊂面D₁BQ，∴M∈面D₁BQ，
同理可证M∈面ABCD，
则M在面D₁BQ与面ABCD的交线上，
又∵B∈面D₁BQ，且B∈面ABCD，
则B也在面D₁BQ与面ABCD的交线上，…（4分）
且面D₁BQ与面ABCD有且只有一条交线，
则BM即为面D₁BQ与面ABCD的交线．…（5分）
（2）证明：连接PQ、BD，由已知得四边形PABQ为平行四边形
∴AP∥BQ，∵AP⊂面AOP，BQ⊄面AOP，
∴BQ∥面AOP，…（8分）
同理可证D₁B∥面AOP，
又∵BQ∩D₁B=B，BQ⊂面BQD₁，BD₁⊂面BQD₁，
∴面BQD₁∥面AOP．…（10分）