（2014•鄂州）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A

Question

（2014•鄂州）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂，如此进行下去，得到四边形A_nB_nC_nD_n．下列结论正确的是（　　）
①四边形A₄B₄C₄D₄是菱形；
②四边形A₃B₃C₃D₃是矩形；
③四边形A₇B₇C₇D₇周长为(a+b)/(8)；
④四边形A_nB_nC_nD_n面积为(a•b)/(2n)．

A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④

Answer 1

①连接A₁C₁，B₁D₁．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，
∴A₁D₁∥BD，B₁C₁∥BD，C₁D₁∥AC，A₁B₁∥AC；
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形；
∵AC丄BD，
∴A₁B₁丄A₁D₁，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是矩形，
∴B₁D₁=A₁C₁（矩形的两条对角线相等）；
∴A₂D₂=C₂D₂=C₂B₂=B₂A₂（中位线定理），
∴四边形A₂B₂C₂D₂是菱形；
∴四边形A₃B₃C₃D₃是矩形；
∴根据中位线定理知，四边形A₄B₄C₄D₄是菱形；
故①②正确；
③根据中位线的性质易知，A₇B₇═(1)/(2)A₅B₅=(1)/(4)A₃B₃=(1)/(8)A₁B₁=(1)/(16)AC，B₇C₇=(1)/(2)B₅C₅=(1)/(4)B₃C₃=(1)/(8)B₁C₁=(1)/(16)BD，
∴四边形A₇B₇C₇D₇的周长是2×(1)/(16)（a+b）=(a+b)/(8)，
故③正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S_{四边形ABCD}=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形A_nB_nC_nD_n的面积是(ab)/(2n+1)，
故④错误；
综上所述，①②③正确．
故选：A．