已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是四边形ABCD对角线的交点．（1）求证：C1O∥平面AB1D1；（2）求证：平面AB1D1⊥平面A1AC；（3）设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求多面体D1DAOB1的体积．

Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是四边形ABCD对角线的交点．
（1）求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求证：平面AB₁D₁⊥平面A₁AC；
（3）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，求多面体D₁DAOB₁的体积．

Answer 1

（1）证明：连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接AO₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，∴A₁ACC₁是矩形．
∴A₁C₁∥AC，且 A₁C₁=AC．
又O₁，O分别是A₁C₁，AC的中点，
∴O₁C₁∥AO，且O₁C₁=AO．
∴AOC₁O₁是平行四边形．
∴C₁O∥AO₁．
又AO₁⊂平面AB₁D₁，C₁O⊄平面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．
（2）方法一：
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，D₁B₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥B₁D₁．       
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
而D₁B₁∥BD，∴D₁B₁⊥AC．                   
∵A₁A∩AC=A，∴D₁B₁⊥平面A₁AC．         
∵D₁B₁⊂平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁⊥平面A₁AC． 
方法二：连接A₁B．
∵A₁ABB₁是正方形，∴A₁B⊥AB₁．            
∵CB⊥平面A₁ABB₁，由三垂线定理得，A₁C⊥AB₁． 
同理可证，A₁C⊥AD₁．                      
∵AB₁⊂平面AB₁D₁，AD₁⊂平面AB₁D₁，D₁A∩AB₁=A，
∴A₁C⊥平面AB₁D₁，∵A₁C⊂平面A₁AC，
∴平面A₁AC⊥平面AB₁D₁．
（3）∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴AO⊥BD，
∵D₁D⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，∴D₁D⊥AO．     
又D₁D∩BD=D，∴AO⊥平面D₁DOB₁．           
因为DO＝AO＝(1)/(2)BD＝(√(2))/(2)，D1B1＝√(2)，
方法一：S梯形DOB1D1＝(1)/(2)(DO+D1B1)•D1D＝(3√(2))/(4)．          
所以VD1DAOB1＝VA−ODD1B1＝(1)/(3)•S梯形DOB1D