在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF是棱D1C1上任意两点,且EF=a/3,P是BC上动点,求三棱锥E-APF的体积最大值

Question

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E F是棱D1C1上任意两点,且EF=a/3,P是BC上动点,求三棱锥E-APF的体积最大值

Answer 1

D1C1上点的顺序：D1、E、F、C1,
C1D1-ABCD:V1=a*a*a/2,
三棱锥F-ABP:V2=(1/3)*S(ABP)*CC1=(1/3)*(a*BP/2)*a,
三棱锥F-PCC1:V3=(1/3)*S(PCC1)*FC1=(1/3)*[a*(a-BP)/2]*FC1,
三棱锥E-APCD:V4=(1/3)*S(APCD)*DD1=(1/3)*[a*(2a-BP)/2]*a,
三棱锥E-ADD1:V5=(1/3)*S(ADD1)*ED1=(1/3)*(a*a/2)*ED1,
三棱锥F-EPF:V=V1-(V2+V3+V4+V5)=a*a*a/18+a*BP*FC1/6,
要使得V值最大,则BP、FC1取最大值,BP=a、FC1=2a/3,即C和P重合、E和D1重合
所以Vmax=a*a*a/18+a*a*(2a/3)/6=a*a*a/6.