在直角坐标系xOy中，曲线C1：x=tcosαy=tsinα（t为参数，t≠0），其中0≤a<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4sinθ，曲线C3=ρ=43cosθ．（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标

Question

在直角坐标系xOy中，曲线C1：

x=tcosα

y=tsinα

（t为参数，t≠0），其中0≤a<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=4sinθ，曲线C3=ρ=4√(3)cosθ．
（Ⅰ）求C₂与C₃交点的直角坐标系；
（Ⅱ）若C₂与C₁相交于点A，C₃与C₁相交于点B，求|AB|的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）因为C₂：ρ=4sinθ，
所以ρ²=4ρsinθ，
故C₂：x²+y²-4y=0；
因为C₃：ρ=4√(3)cosθ，
所以ρ²=4√(3)ρcosθ，
故C₃：x2+y2-4√(3)x=0；
联立得交点坐标为（0，0），（√(3)，3）．
（Ⅱ）曲线C₁的极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤α<π，
因此得到A的极坐标为（4sinα，α），B的极坐标为（4√(3)cosθ，α）．
所以|AB|=|4√(3)cosθ-4sinθ|=|8cos（(π)/(6)+α）|，
当α=(5π)/(6)时，|AB|取得最大值，最大值为8．