（2013•海口二模）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长

Question

（2013•海口二模）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的． 如图，椭圆C₁与椭圆C₂是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C₁：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长是4，椭圆C₂：(y2)/(m2)+(x2)/(n2)＝1(m＞n＞0)短轴长是1，点F₁，F₂分别是椭圆C₁的左焦点与右焦点，
（Ⅰ）求椭圆C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）过F₁的直线交椭圆C₂于点M，N，求△F₂MN面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆C₁的半焦距为c，椭圆C₂的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，n＝(1)/(2)．
∵椭圆C₁与椭圆C₂的离心率相等，即(c)/(a)＝(c′)/(m)，
∴(√(a2−b2))/(√(a2))＝(√(m2−n2))/(√(m2))，即√(1−((b)/(a))2)＝√(1−((n)/(m))2)
∴(b)/(a)＝(n)/(m)，即bm=b²=an=1，∴b=m=1，
∴椭圆C₁的方程是(x2)/(4)+y2＝1，椭圆C₂的方程是y2+(x2)/((1)/(4))＝1；
（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：x＝my−√(3)．
联立：

x＝my−√(3)

y2+4x2＝1

，得y2+4(my−√(3))2−1＝0，即(1+4m2)y2−8√(3)my+11＝0，
∴△=192m²-44（1+4m²）=16m²-44＞0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则y1+y2＝(8√(3)m)/(1+4m2)，y1y2＝(11)/(1+4m2)，∴|MN|＝2√(1+m2)(√(4m2−11))/(1+4m2)，
△F₂MN的高即为点F₂到直线l：x−my+√(3)＝0的距离h＝(|√(3)−0m+√(3)|)/(√(1+m2))＝(2√(3))/(√(1+m2))．
∴△F₂MN的面积S＝(1)/(2)|MN|h＝2√(3)(√(4m2−11))/(1+4m2)＝(2√(3))/(√(4m2−11)+(12)/(√(4m2−11)))，
∵√(4m2−11)+(12)/(√(4m2−11))≥2√(12)＝4√(3)，等号成立当且仅当√(4m2−11)＝(12)/(√(4m2−11))，即m＝±(√(23))/(2)时，
∴S≤(2√(3))/(4√(3))＝(1)/(2)，即△F₂MN的面积的最大值为(1)/(2)．