如图，C1和C2分别是y＝12(1+ex)和y=ex的图象，过点（0，1）的曲线C3是一单调增函数的图象．过C2上任一点M（x，y）分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly．记C1，C2与lx所围图形的面积为S1（x）；C2，

Question

如图，C₁和C₂分别是y＝(1)/(2)(1+ex)和y=e^x的图象，过点（0，1）的曲线C₃是一单调增函数的图象．过C₂上任一点M（x，y）分别作垂直于x轴和y轴的直线l_x和l_y．记C₁，C₂与l_x所围图形的面积为S₁（x）；C₂，C₃与l_y所围图形的面积为S₂（y）．如果总有S₁（x）=S₂（y），求曲线C₃的方程x=φ（y）．

Answer 1

依题意，有
S1(x)＝

∫

x 0

[et−(1)/(2)(1+et)]dt=(1)/(2)(ex−x−1)
由y=e^x得x=lny，故：
S2(y)＝

∫

y 1

[lnt−φ(t)]dt
∴由S₁（x）=S₂（y）得：(1)/(2)(ex−x−1)＝

∫

y 1

[lnt−φ(t)]dt
而y=e^x
∴(1)/(2)(y−lny−1)＝

∫

y 1

[lnt−φ(t)]dt
两边对y求导得：
(1)/(2)(1−(1)/(y))＝lny−φ(y)
∴x＝φ(y)＝ly−(1)/(2)(1−(1)/(y))，y≥1