若C0+(1/2)C1+……+(1/n+1)Cn=0,证明多项式P(x)=C0+C1X+……+CnX^n至少有一个零点.

Question

若C0+(1/2)C1+……+(1/n+1)Cn=0,证明多项式P(x)=C0+C1X+……+CnX^n至少有一个零点.

Answer 1

设f(x)=c0+c1x+c2x^2+.+cnx^n,显然它们是一些初等函数相加而得,易知在（0,1）上连续,
结合易知条件,则有∫（区间0到1）f(x)dx=0.
由积分第一中值定理可得：必存在一点a,a属于（0,1）上有：
∫（区间0到1）f(x)dx=f(a)(1-0)
则有f(a)=0,即证
用罗尔定理.
设f(x)=c0x+c1x^2/2+c2x^3/3+.+cnx^(n+1)/(n+1),
则f(0)=f(1)=0,且f在闭区间[0,1]上连续,在（0,1）上可导
则有罗尔定理可得：至少存在一点x0属于(0,1),使得f'(x0)=0.
也即原方程：c0+c1x0+c2x0^2+.+cnx0^n=0
即证!