已知数列{an}是等比数列，a1=2，a3=18．数列{bn}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2，Qn=b10+b12

Question

已知数列{a _n }是等比数列，a ₁ =2，a ₃ =18．数列{b _n }是等差数列，b ₁ =2，b ₁ +b ₂ +b ₃ +b ₄ =a ₁ +a ₂ +a ₃ ＞20．
（1）求数列{a _n }，{b _n }的通项公式；
（2）设P _n =b ₁ +b ₄ +b ₇ +…+b _3n-2 ，Q _n =b ₁₀ +b ₁₂ +b ₁₄ +…+b _2n+8 ，其中n=1，2，3，…．试比较P _n 与Q _n 的大小，并证明你的结论．

Answer 1

（1）设{a _n }的公比为q，由a ₃ =a ₁ q ² 得q ² = (a3)/(a1) =9，q=±3．
①当q=-3时，a ₁ +a ₂ +a ₃ =2-6+18=14＜20，
这与a ₁ +a ₂ +a ₃ ＞20矛盾，故舍去．
②当q=3时，a ₁ +a ₂ +a ₃ =2+6+18=26＞20，故符合题意．
∴a _n =a ₁ q ^n-1 =2×3 ^n-1
设数列{b _n }的公差为d，由b ₁ +b ₂ +b ₃ +b ₄ =a ₁ +a ₂ +a ₃ =26，
得4b ₁ + (4×3)/(2) d=26，结合b ₁ =2，解之得d=3，
所以b _n =b _n +（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1
综上所述，数列{a _n }，{b _n }的通项公式分别为a _n =2×3 ^n-1 、b _n =3n-1；
（2）∵b ₁ ，b ₄ ，b ₇ ，…，b _3n-2 组成以3d为公差的等差数列，
∴P _n =nb ₁ + (n(n-1))/(2) •3d= (9)/(2) n ² - (5)/(2) n；
同理可得：b ₁₀ ，b ₁₂ ，b ₁₄ ，…，b _2n+8 组成以2d为公差的等差数列，且b ₁₀ =29，
∴Q _n =nb ₁₀ + (n(n-1))/(2) •2d=3n ² +26n．
因此，P _n -Q _n =（ (9)/(2) n ² - (5)/(2) n）-（3n ² +26n）= (3)/(2) n（n-19）．
所以对于正整数n，当n≥20时，P _n ＞Q _n ；当n=19时，P _n =Q _n ；当n≤18时，P _n ＜Q _n ．