已知f(x)为偶函数，当x≥0时，，满足的实数a的个数为A2B4C6D8

Question

已知f(x)为偶函数，当x≥0时，，满足的实数a的个数为

• A

  2
• B

  4
• C

  6
• D

  8

Answer 1

【分析】令f(a)=x，则f[f(a)]=转化为f(x)=．先解f(x)=在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出在x<0时的解，最后解方程f(a)=x即可．

令f(a)=x，则f[f(a)]=变形为f(x)=；
\n当x≥0时，f(x)=-(x-1)²+1=，解得x₁=1+，x₂=1-；
\n∵f(x)为偶函数，
\n∴当x<0时，f(x)=的解为x₃=-1-，x₄=-1+；
\n综上所述，f(a)=1+，1-，-1-，-1+；
\n当a≥0时，
\nf(a)=-(a-1)²+1=1+，方程无解；
\nf(a)=-(a-1)²+1=1-，方程有2解；
\nf(a)=-(a-1)²+1=-1-，方程有1解；
\nf(a)=-(a-1)²+1=-1+，方程有1解；
\n故当a≥0时，方程f(a)=x有4解，由偶函数的性质，易得当a<0时，方程f(a)=x也有4解，
\n综上所述，满足f[f(a)]=的实数a的个数为8，
\n故选D．

【点评】本题综合考查了函数的奇偶性和方程的解的个数问题，同时运用了函数与方程思想、转化思想和分类讨论等数学思想方法，对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高，是高考的热点问题．