求立方差公式的证明a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)就是这个公式怎么从a3+b3得到(a+b)(a2-ab+b2)

Question

求立方差公式的证明
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 就是这个公式
怎么从a3+b3得到(a+b)(a2-ab+b2)

Answer 1

设1^3+2^3+.n^3=[n(n+1)/2]^2 成立
则1^3+2^3+.n^3+(n+1)^3=[n(n+1)/2]^2+ (n+1)^3
(化间)=(n^4+6n^3+13n^2+12n+4)/4
又因为[(n+1)(n+1+1)/2]^2=(n^4+6n^3+13n^2+12n+4)/4 (化间)
所以 1^3+2^3+.n^3+(n+1)^3=[n(n+1)/2]^2+ (n+1)^3＝[(n+1)(n+1+1)/2]^2
所以1^3+2^3+.n^3=[n(n+1)/2]^2 成立
这是数学归纳法 基本思想是验证n=1时等式成立 n=2时等式成立.设n=k时等式成立 只要证明n=k+1时等式仍成立 则无论k=任何数 等式都成立 故等式恒成立