求个四阶行列式值a100b10a2b200b3a30b400a4按第行或列展开我知道怎么算,但是我希望知道按定义也就是最直接的对角线算法答案怎么会和按行列展开算的不一样啊,很困扰人呢对角线做的

Question

求个四阶行列式值
a1 0 0 b1
0 a2 b2 0
0 b3 a3 0
b4 0 0 a4
按第行或列展开我知道怎么算,但是我希望知道按定义也就是最直接的对角线算法答案怎么会和按行列展开算的不一样啊,很困扰人呢
对角线做的答案貌似:a1a2a3a4-b1b2b3b4
按行列展开来的是:(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)
答案不重要,只是希望能有人给我个解释
可能是我没说清楚,大概不是叫对角线算法
反正例如
1 2
3 4
算得:1*4-2*3=-2

Answer 1

先两行互换,变成
a1 b1 0 0
0 0 b2 a2 (前面有负号）
0 0 a3 b3
b4 a4 0 0
再两列互换,变成
a1 b1 0 0
b4 a4 0 0
0 0 a3 b3
0 0 b2 a2
这时就可以用分块矩阵性质拉普拉斯展开式计算
a1 b1 a3 b3
b4 a4 b2 a2 相乘
=(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)