一·设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3…bn均为正实数,且a1^2＞a2^2+a3^2+…+an^2,求证：(a1^2-a2^2-…an^2)(b1^2-b2^2-b3^2…bn^2)≤（a1b1+a2b2+…+anbn)^2二·已知①a^2+b^2-kab=1②c^2+b^2-kcd=1其中a,b,c,d都是实数,且|k|＜2,求证

Question

一·设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3…bn均为正实数,且a1^2＞a2^2+a3^2+…+an^2,求证：(a1^2-a2^2-…an^2)(b1^2-b2^2-b3^2…bn^2)≤（a1b1+a2b2+…+anbn)^2
二·已知①a^2+b^2-kab=1 ②c^2+b^2-kcd=1 其中a,b,c,d都是实数,且|k|＜2,求证：|ac-bd|≤2/根号(4-k^2)

Answer 1

1.作关于k的多项式f(k)=(a1^2-a2^2-...-an^2)k^2-2(a1b1+a2b2+...+anbn)k+(b1^2-b2^2-...-bn^2)=(a1k-b1)^2-(a2k+b2)^2-...-(ank+bn)^2
这是开口向上的抛物线,且显然f(b1/a1)<=0
所以该抛物线与x轴必有交点,所以判别式>=0.得证
2.lz题目打错了吧,c^2+d^2-kcd=1 .
令a+b=x,a-b=y,c+d=z,c-d=t.代入已知条件和欲证结论.那么就是
已知(2-k)x^2+(2+k)y^2=1,(2-k)z^2+(2+k)t^2=1
求证|yz+xt|<=1/根号(4-k^2)
柯西不等式：(根号(2-k)z*根号(2+k)t+根号(2+k)y*根号(2-k)x)^2<=((2-k)z^2+(2+k)t^2)((2-k)x^2+(2+k)y^2)
就出来了