已知实数a，b∈R，若a2-ab+b2=3，则(1+ab)2a2+b2+1的值域为．

Question

已知实数a，b∈R，若a²-ab+b²=3，则 ((1+ab)2)/(a2+b2+1)的值域为___．

Answer 1

∵a²-ab+b²=3，
∴ab+3=a²+b²≥2|ab|，∴-1≤ab≤3，当且仅当a=b=±√(3)时取右边等号，ab=-1时取左边等号．
令ab=t∈[-1，3]．
则((1+ab)2)/(a2+b2+1)=((1+t)2)/(t+4)=t-2+(9)/(t+4)=f（t）．
f′（t）=1-(9)/((t+4)2)=(t2+8t+7)/((t+4)2)=((t+1)(t+7))/((t+4)2)
∴f（t）在[-1，3]上单调递增．
f（-1）=0，f（3）=(16)/(7)．
∴f（t）∈[0，(16)/(7)]．
故答案为：[0，(16)/(7)]．