设函数f(x)＝clnx+12x2+bx，且x＝1为f(x)的极值点．（I）若x=1为f（x）的极大值点，求函数的单调区间（用c表示）；（II）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

Question

设函数f(x)＝clnx+(1)/(2)x2+bx，且x＝1为f(x)的极值点．
（I）若x=1为f（x）的极大值点，求函数的单调区间（用c表示）；
（II）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

Answer 1

（I）求导函数，可得f′(x)＝(x2+bx+c)/(x)
∵x=l为f（x）的极大值点，∴f′（1）=0
∴f′(x)＝((x−1)(x−c))/(x)，c＞1，b+c+1=0
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜c时，f′（x）＜0；当x＞c时，f′（x）＞0；
∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）
（II）①若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，若f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，
∴(1)/(2)+b＜0，∴−(1)/(2)＜c＜0
②若0＜c＜1，则f_极大（x）=f（c）=clnc+(1)/(2)c2+bc，f_极小（x）=f（1）=(1)/(2)+b
∵b=-1-c，∴f_极大（x）=f（c）=clnc+(1)/(2)c2+c(−1−c)＜0，f_极小（x）=f（1）=-(1)/(2)-c，从而f（x）=0只有一解；
③若c＞1，则f_极小（x）=f（c）=clnc+(1)/(2)c2+c(−1−c)＜0，f_极大（x）=f（1）=-(1)/(2)-c，从而f（x）=0只有一解；
综上，可知f（x）=0恰有两解时，实数c的取值范围为−(1)/(2)＜c＜0