若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是．

Question

若实数a，b满足a+b²=1，则2a²+7b²的最小值是______．

Answer 1

∵a+b²=1，
∴a=1-b²
∴2a²+7b²=2（1-b²）²+7b²=2b⁴+3b²+2=2（b²+(3)/(4)）²+2-(9)/(8)=2（b²+(3)/(4)）²+(7)/(8)，
∵b²≥0，
∴2（b²+(3)/(4)）²+(7)/(8)＞0，
∴当b²=0，即b=0时，2a²+7b²的值最小．
∴最小值是2．
方法二：∵a+b²=1，
∴b²=1-a，
∴2a²+7b²=2a²+7（1-a）=2a²-7a+7=2（a-(7)/(4)）²+(7)/(8)，
∵b²≥0，
∴1-a≥0，
∴a≤1，
∴当a=1，即b=0时，2a²+7b²的值最小．
∴最小值是2．