已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．（1）求证：FM∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．

Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁的中点，M为线段AC₁的中点．

（1）求证：FM∥平面ABCD；
（2）求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

证明：（1）延长C₁F交CB的延长线于点N，连接AN．
∵F是BB₁的中点，
∴F为C₁N的中点，B为CN的中点．
又M是线段AC₁的中点，
故MF∥AN．
又MF不在平面ABCD内，AN⊂平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD．
（2）连BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，可知A₁A⊥平面ABCD，
又∵BD⊂平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．
又∵AC∩A₁A=A，AC，A₁A⊂平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，∴四边形DANB为平行四边形，
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，
又∵NA⊂平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁．