如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1A、B1B的中点．（1）求直线CM与A1C1所成角的正弦值；（2）求直线D1N与平面A1ABB1所成角的正切值．

Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁A、B₁B的中点．
（1）求直线CM与A₁C₁所成角的正弦值；
（2）求直线D₁N与平面A₁ABB₁所成角的正切值．

Answer 1

（1）连接A₁C₁、AC
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁∥CC₁且AA₁=CC₁
∴四边形ACC₁A₁为平行四边形…（2分）
∴A₁C₁∥AC
则∠MCA即为直线CM与A₁C₁所成角的平面角…（4分）
∴sin∠MCA＝(MA)/(√(MA2+AC2))＝(1)/(3)，
∴直线CM与A₁C₁所成角的正弦值为(1)/(3)．…（6分）
（2）连结A₁N，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
D₁A₁⊥平面A₁ABB₁，…（8分）
∴∠D₁NA₁就是D₁N与平面A₁ABB₁所成角的平面角，…（10分）
∴tan∠D₁NA₁=(A1D1)/(A1N)=(2√(5))/(5)．
∴直线D₁N与平面A₁ABB₁所成角的正切值为(2√(5))/(5)．…（12分）