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如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1A、B1B的中点.(1)求直线CM与A1C1所成角的正弦值;(2)求直线D1N与平面A1ABB1所成角的正切值.
题目详情

(1)求直线CM与A1C1所成角的正弦值;
(2)求直线D1N与平面A1ABB1所成角的正切值.
▼优质解答
答案和解析
(1)连接A1C1、AC
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1=CC1
∴四边形ACC1A1为平行四边形…(2分)
∴A1C1∥AC
则∠MCA即为直线CM与A1C1所成角的平面角…(4分)
∴sin∠MCA=
=
,
∴直线CM与A1C1所成角的正弦值为
.…(6分)
(2)连结A1N,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
D1A1⊥平面A1ABB1,…(8分)
∴∠D1NA1就是D1N与平面A1ABB1所成角的平面角,…(10分)
∴tan∠D1NA1=
=
.
∴直线D1N与平面A1ABB1所成角的正切值为
.…(12分)

∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1=CC1
∴四边形ACC1A1为平行四边形…(2分)
∴A1C1∥AC
则∠MCA即为直线CM与A1C1所成角的平面角…(4分)
∴sin∠MCA=
MA | ||
|
1 |
3 |
∴直线CM与A1C1所成角的正弦值为
1 |
3 |
(2)连结A1N,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
D1A1⊥平面A1ABB1,…(8分)
∴∠D1NA1就是D1N与平面A1ABB1所成角的平面角,…(10分)
∴tan∠D1NA1=
A1D1 |
A1N |
2
| ||
5 |
∴直线D1N与平面A1ABB1所成角的正切值为
2
| ||
5 |
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