在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD中点，点P在线段B1D1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[23，33]B.[13，12]C.[34，33]D.[14，13]

Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是BD中点，点P在线段B₁D₁上，直线OP与平面A₁BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（　　）

A. [

(√(2))/(3)，(√(3))/(3)]

B. [

(1)/(3)，(1)/(2)]

C. [

(√(3))/(4)，(√(3))/(3)]

D. [

(1)/(4)，(1)/(3)]

Answer 1

设正方体边长为1，(B1P1)/(B1D1)=λ（0≤λ≤1）．
以B₁为原点，分别以B₁A₁，B₁C₁，B₁B为坐标轴建立空间直角坐标系，
则O（(1)/(2)，(1)/(2)，1），P（λ，λ，0），∴

OP

=（λ-(1)/(2)，λ-(1)/(2)，-1），
∵AC₁⊥平面A₁BD，∴

AC1

=（-1，1，-1）是平面A₁BD的一个法向量．
∴sinα=cos<

OP

，

AC1

>=(1)/(√(3)√(2(λ-(1)/(2))2+1))．
∴当λ=(1)/(2)时sinα取得最大值(√(3))/(3)，当λ=0或1时，sinα取得最小值(√(2))/(3)．
故选：A．