如图，已知棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA1=1，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点．（Ⅰ）求证：MF∥面ABCD；（Ⅱ）判断直线MF与平面BDD1B1的位置关系，并证明你

Question

如图，已知棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且AA₁⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA₁=1，F为棱AA₁的中点，M为线段BD₁的中点．

（Ⅰ）求证：MF∥面ABCD；
（Ⅱ）判断直线MF与平面BDD₁B₁的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅲ）求三棱锥D₁-BDF的体积．

Answer 1

（Ⅰ）连接AC、BD交于点O，再连接OM，
∵△BD₁D中，OM是中位线，∴OM∥D₁D且OM=(1)/(2)D₁D，
∵矩形AA₁D₁D中，AF∥D₁D且AF=(1)/(2)D₁D，
∴AF∥OM且AF=OM，可得四边形MOAF是平行四边形，
∴MF∥OA，
∵MF⊈平面ABCD，OA⊆平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD；------（4分）
（Ⅱ）AC⊥平面BDD₁B₁，证明如下
在底面菱形ABCD中，AC⊥BD，
又∵BB₁⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD
∴AC⊥BB₁，
∵BB₁、BD是平面BDD₁B₁内的相交直线
∴AC⊥平面BDD₁B₁，
∵AC∥MF，∴MF⊥平面BDD₁B₁，------------（8分）
（Ⅲ）过点B作BH⊥AD，垂足为H，
∵AA₁⊥平面ABCD，BH⊆平面ABCD
∴BH⊥AA₁，
∵AD、AA₁是平面BDD₁B₁内的相交直线
∴BH⊥平面BDD₁B₁，
在Rt△ABH中，∠DAB=60°，AB=1，
∴BH=ABsin60°=(√(3))/(2)，
因此，三棱锥D₁-BDF的体积V=V_B-D1DF=(1)/(3)S_△DD1F•BH=(1)/(3)×(1)/(2)×1×1×(√(3))/(2)=(√(3))/(12)--------（12分）