（2010•昌平区二模）已知三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B1A，C1CBC的中点．（I）求证：DE∥平面ABC；（II）平面AEF⊥平面BCC1B1；求三棱锥A-BCB1的体积．

Question

（2010•昌平区二模）已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B₁A，C₁CBC的中点．
（I）求证：DE∥平面ABC；
（II）平面AEF⊥平面BCC₁B₁；求三棱锥A-BCB₁的体积．

Answer 1

（I）取AB中点G，连DG，CG
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，
∴BCC₁B₁是矩形．
∵D，E分别为AB₁，CC₁的中点，
∴DG

∥

.

.

(1)/(2)BB1，CE

∥

.

.

(1)/(2)BB1，
∴DG

∥

.

.

CE，DGCE是平行四边形，∴DE∥GC．（4分）
∵GC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，
∴DE∥平面ABC．（5分）

（II）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，
∴AF⊥CC₁∵AB=AC，F为BC中点，∴AF⊥BC
又BC∩CC₁=C∴AF⊥平面BCC₁B₁，（9分）又AF⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面BCC₁B₁（10分）
AF⊥平面BCC₁B₁，
在由已知，RT△ABC中，AB=AC=2，
∴BC=2√(2)，AF＝(1)/(2)BC＝√(2)，S△BCB1＝(1)/(2)BC•BB1＝2√(2)
∴VA−BCB1＝(1)/(3)S△BCB1•AF＝(4)/(3)（14分）