如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B⊥AA1C1C，D，E分别是A1B1和C1C的中点．求证：（1）BC1⊥平面AB1C；（2）DE∥平面AB1C．

Question

如图，四边形A A₁ C₁C为矩形，四边形CC₁B₁ B为菱形，且平面CC₁B₁ B⊥A A₁ C₁C，D，E分别是A₁ B₁和C₁C的中点．求证：（1）BC₁⊥平面AB₁C；
（2）DE∥平面AB₁C．

Answer 1

（1）∵四边形A A₁ C₁C为矩形，∴AC⊥CC₁，
又平面CC₁B₁ B⊥A A₁ C₁C，CC₁B₁ B∩A A₁ C₁C=CC₁，
∴AC⊥平面CC₁B₁ B，
∵BC₁⊂平面CC₁B₁ B，
∴AC⊥BC₁，
∵四边形CC₁B₁ B为菱形，∴B₁C⊥BC₁，
又B₁C∩AC=C，AC⊂平面A₁C，B₁C⊂平面AB₁C，
∴BC₁⊥平面AB₁C；
（2）取AA₁的中点，连接DF，EF，
∵四边形A A₁ C₁C为矩形，E，F分别是C₁C，AA₁的中点，
∴EF∥AC，又EF⊄平面平面AB₁C，AC⊂平面AB₁C，
∴EF∥平面AB₁C，
又D，F分别是A₁ B₁和AA₁的中点，
∴DF∥A B₁，
又DF⊄平面AB₁C，AB₁⊂平面AB₁C，
∴DF∥平面AB₁C，
∵EF∩DF=F，EF⊂平面DEF，DF⊂平面DEF，
∴平面DEF∥平面AB₁C，
∵DE⊂平面DEF，
∴DE∥平面AB₁C．