如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F．求证：EF∥平面ABCD．

Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面对角线AB₁、BC₁上分别有两点E、F，且B₁E=C₁F．求证：EF∥平面ABCD．

Answer 1

证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连接MN．
∵BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AB，BB₁⊥BC．
∴EM∥BB₁，FN∥BB₁．∴EM∥FN．
又B₁E=C₁F，∴EM=FN．
故四边形MNFE是平行四边形．
∴EF∥MN．又MN在平面ABCD中，
∴EF∥平面ABCD．
证法二：过E作EG∥AB交BB₁于点G，连接GF，则(B1E)/(B1A)=(B1G)/(B1B)．
∵B₁E=C₁F，B₁A=C₁B，∴(C1F)/(C1B)=(B1G)/(B1B)．
∴FG∥B₁C₁∥BC．
又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，
∴EF∥平面ABCD．