初三数学证明题求证：两条直线Y1=K1X+B1和Y2=K2X+B2,若K1K2=-1,则两直线垂直.

Question

初三数学证明题
求证：两条直线Y1=K1X+B1和Y2=K2X+B2,若K1K2=-1,则两直线垂直.

Answer 1

2直线交点P设为(m.n)
则有：n=k1m+B1
n=k2m+B2
B2+k2m=B1+k1m
B2-B1=m(k1-k2)
m=(B2-B1)/(k1-k2) 这里,k1≠k2
nk2-k2B1=nk1-k1B2,n(k2-k1)=k2B1-k1B2
n=(k2B1-k1B2)/(k2-k1)
y1=k1x+B1与Y轴的交点A（0,B1)
y2=k2x+B2与Y轴的交点B（0,B2）
AB＾2＝(B1-B2)＾2=(B2-B1)^2
AP＾2＝m＾2＋（n－B1）＾2
=[1/(k2-k1)]^2[(B1-B2)^2+k1^2(B1-B2)^2]
=(B1-B2)^2(1+K1^2)/(K2-K1)^2
BP^2=(B1+B2)^2(1+K2^2)/(K2-K1)^2
AP^2+BP^2
=[B1^2+B2^2-2B1B2+K1^2B1^2+K1^2B2^2-2B1B2K1^2
+B1^2+B2^2-2B2B1+K2^2B1^2+K2^2B2^2-2B2B1K2^2]/(K2-K1)^2
注意到：2=-2K1K2,B1^2和B2^2前面的系数变为(K2-K1)^2
-2B1B2K1^2-2B1B2K2^2-4B1B2=-2B1B2(K2^2+K1^2-2K1K2)
AP^2+BP^2=B1^2+B2^2-2B1B2=(B1-B2)^2=(B2-B1)^2=AB^2
所以,若K1K2=-1,则两直线垂直