如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为ABCD-A1B1C1D1、ABCD-A1B1C1D1的中点．（1）求证：AC⊥BD1；（2）AE∥平面BFD1．

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为ABCD-A₁B₁C₁D₁、ABCD-A₁B₁C₁D₁的中点．

（1）求证：AC⊥BD₁；
（2）AE∥平面BFD₁．

Answer 1

（1）证明：连接BD，交AC于0，
∵DD₁⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD，
∴DD₁⊥AC，
∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵BD⊂平面BDD₁，DD₁⊂平面BDD₁，BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁，
∵BD₁⊂平面BDD₁，
∴AC⊥BD₁．
（2）连接EF，
∵E，F为中点，
∴EF∥CD，且EF=CD，
∵AB∥CD，且AB=CD，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴AE∥BF，
∵BF⊂平面BFD₁，AE⊄平面BFD₁，
∴AE∥平面BFD₁．