如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；（3）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大

Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长均为a，D是侧棱CC₁的中点．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）求异面直线AB₁与BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB₁D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．

Answer 1

（1）证明：取AB₁的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．
故EF

∥

.

.

(1)/(2)BB1．又CD

∥

.

.

(1)/(2)BB1．
∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF．又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
△ABC为正三角形．CF⊂平面ABC，
∴CF⊥BB₁，CF⊥AB，而AB∩BB₁=B，∴CF⊥平面ABB₁A₁，
又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB₁A₁．
又DE⊂平面AB₁D．所以平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．（4分）

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则A((√(3)a)/(2)，(a)/(2)，0)，C(0，a，0)，D(0，a，(a)/(2))，B1(0，0，a)，B(0，0，0)
设异面直线AB₁与BC所成的角为θ，则cosθ＝(|AB1•BC|)/(|AB1|•|BC|)＝(√(2))/(4)，
故异面直线AB₁与BC所成角的余弦值为(√(2))/(4)，

（3）由（2）得

AB1

＝(−(√(3a))/(2)，−(a)/(2)，a)，

AD

＝(−(√(3a))/(2)，(a)/(2)，(a)/(2))，
设n=（1，x，y）为平面AB₁D的一个法向量．
由

n•

AB1

＝(1，x，y)•(−(√(3a))/(2)，−(a)/(2)，a)＝0

n•

AD

＝(1，x，y)•(−(√(3a))/(2)(a)/(2)(a)/(2))＝0

得，

x＝(√(3))/(3)

y＝(2√(3))/(3)

，
即n＝(1，(√(3))/(3)，(2√(3))/(3))（6分）
显然平面ABC的一个法向量为m（0，0，1）．
则cos〈m，n＞＝(|(1，(√(3))/(2)，(2√(3))/(3))•(0，0，1)|)/(√(12+((√(3))/(3))2+((2√(3))/(3))2))＝(√(2))/(2)，故〈m，n＞＝(π)/(4)．
即所求二面角的大小为(π)/(4)．（14分）