（2009•湖北）设(22+x)2n＝a0+a1x+a2x2+…+a2n−1x2n−1+a2nx2n，则limn→∞[（a0+a2+a4+…+a2n）2-（a1+a3+a5+…+a2n-1）2]=（）A．-1B．0C．1D．12

Question

（2009•湖北）设((√(2))/(2)+x)2n＝a0+a1x+a2x2+…+a2n−1x2n−1+a_2nx²ⁿ，则

lim

n→∞

[（a₀+a₂+a₄+…+a_2n）²-（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）²]=（　　）

A．-1
B．0
C．1
D．(1)/(2)

Answer 1

令x=1和x=-1分别代入二项式((√(2))/(2)+x)2n＝a0+a1x+a2x2+…+a2n−1x2n−1+a_2nx²ⁿ中得
a₀+a₁+a₂+a₃+…a_2n-1+a_2n=((√(2))/(2)+1)2n，a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+…-a_2n-1+a_2n=((√(2))/(2)−1)2n由平方差公式
得（a₀+a₂+a₄+…+a_2n）²-（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）²=（a₀+a₁+a₂+a₃+…a_2n-1+a_2n）（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+…-a_2n-1+a_2n）═((√(2))/(2)+1)2n((√(2))/(2)−1)2n=((1)/(2)−1)2n=((1)/(4))n所以

lim

n→∞

[（a₀+a₂+a₄+…+a_2n）²-（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）²]=

lim

n→∞

((1)/(4))n=0
故选择B