设a0，a1，…，an，…为等差数列（a0≠0）（1）求幂级数∞n＝0anxn的收敛半径；（2）求级数∞n＝0an2n的和．

Question

设a₀，a₁，…，a_n，…为等差数列（a₀≠0）
（1）求幂级数

∞

n＝0

a_nxⁿ的收敛半径；
（2）求级数

∞

n＝0

(an)/(2n)的和．

Answer 1

（1）
因为{a_n}为等差数列，
所以可以令a₁=a₀+d，令a_n=a₀+nd，
则：
l＝

lim

n→∞

|(an+1)/(an)|＝

lim

n→∞

|(a0+(n+1)d)/(a0+nd)|＝1，
故收敛半径R＝(1)/(l)＝1．

（2）

∞

n＝0

(an)/(2n)＝

∞

n＝0

(a0+nd)/(2n)＝

∞

n＝0

(a0)/(2n)+

∞

n＝0

(nd)/(2n)，其中 

∞

n＝0

(a0)/(2n)＝ao(1)/(1−(1)/(2))＝2a0，
令f(x)＝

∞

n＝1

(nxn−1)/(2n)，
则∫f(x)dx＝

∞

n＝1

(xn)/(2n)＝((x)/(2))/(1−(x)/(2))，
所以，