设f（x）=a0+a1x+…anx^n,若f（x）=0有n+1个不同实根,证明f（x）≡0

Question

设f（x）=a0+a1x+…anx^n,若f（x）=0有n+1个不同实根,证明f（x）≡0

Answer 1

证明:
设x0,x1,...,xn是f(x)的n+1个互不相同的根
则 f(xi) = 0,i=0,1,...,n
即有
a0+a1x0+a2x0^2+...+anx0^n = 0
a0+a1x1+a2x1^2+...+anx1^n = 0
............
a0+a1xn+a2xn^2+...+anxn^n = 0.
把a0,a1,...,an看作未知量,上式即为n+1元齐次线性方程组.
其系数行列式 =
1 x0 x0^2 ...x0^n
1 x1 x1^2 ...x1^n
.........
1 xn xn^2 ...xn^n
这是Vandermonde行列式
= ∏(n>=j>i>=0) (xj-xi)
由于 x0,x1,...,xn 两两不等
所以系数行列式不等于0
由Crammer法则知齐次线性方程组只有零解
所以 a0=a1=...=an=0.
故 f(x)恒等于0.