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在等差数列{an}中,已知a1,a2,a4,成等比数列,求证:a4,a6,a9也能成等比数类
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在等差数列{an}中,已知a1,a2,a4,成等比数列,求证:a4,a6,a9也能成等比数类
▼优质解答
答案和解析
设数列{an}的首项a1,公差为d,则
a2=a1+d a4=a1+3d
∵a1,a2,a4,成等比数列
∴（a2）²=a1 ·a4
（a1+d）²=a1 ·（a1+3d）
（a1）²+2· a1·d+d²= （a1）²+3· a1·d
d²-a1·d+d²=0
d（d-a1）=0
d=0 或 a1=d
当d=0 时,a4,a6,a9成等比数列；
当a1=d时,则 a4=a1+3d=4d ；a6=a1+5d=6d；a9=a1+8d=9d；
（a6）²=36d²
a4·a9=4d ·9d=36d²
即 （a6）²=a4·a9
故 a4,a6,a9成等比数列
a2=a1+d a4=a1+3d
∵a1,a2,a4,成等比数列
∴（a2）²=a1 ·a4
（a1+d）²=a1 ·（a1+3d）
（a1）²+2· a1·d+d²= （a1）²+3· a1·d
d²-a1·d+d²=0
d（d-a1）=0
d=0 或 a1=d
当d=0 时,a4,a6,a9成等比数列；
当a1=d时,则 a4=a1+3d=4d ；a6=a1+5d=6d；a9=a1+8d=9d；
（a6）²=36d²
a4·a9=4d ·9d=36d²
即 （a6）²=a4·a9
故 a4,a6,a9成等比数列
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