已知等差数列{an}满足：a2+a4=14，a6=13，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝1an2−1（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Tn，求证：18≤Tn＜14．

Question

已知等差数列{a_n}满足：a₂+a₄=14，a₆=13，{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令bn＝(1)/(an2−1)（n∈N₊），数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：(1)/(8)≤Tn＜(1)/(4)．

Answer 1

（I）设首项为a₁，公差为d，则
∵a₂+a₄=14，a₆=13，∴

2a1+4d＝14

a1+5d＝13

∴a₁=3，d=2
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，S_n=3n+(n(n−1))/(2)×2=n²+2n；
（Ⅱ）证明：bn＝(1)/(an2−1)=(1)/(4)((1)/(n)−(1)/(n+1)）
∴T_n=(1)/(4)(1-(1)/(2)+(1)/(2)−(1)/(3)+…+(1)/(n)−(1)/(n+1)）=(1)/(4)(1−(1)/(n+1))＜(1)/(4)
∵T_n单调递增，∴T_n≥T₁=(1)/(8)
∴(1)/(8)≤Tn＜(1)/(4)．