在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=an+1+log2an（n=1，2，3…），求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），且a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_n+1+log₂a_n（n=1，2，3…），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（I）设等比数列{a_n}的公比为q．
由a₁a₃=4可得a₂²=4，（1分）
因为a_n＞0，所以a₂=2（2分）
依题意有a₂+a₄=2（a₃+1），得2a₃=a₄=a₃q（3分）
因为a₃＞0，所以，q=2..（4分）
所以数列{a_n}通项为a_n=2^n-1（6分）
（II）b_n=a_n+1+log₂a_n=2ⁿ+n-1（18分）
可得Sn＝(2+22+23++2n)+[1+2+3++(n−1)]＝(2(1−2n))/(1−2)+((n−1)n)/(2)（12分）
=2n+1−2+(n(n−1))/(2)（13分）