如图实心点的个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，若an=

Question

如图实心点的个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作
a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，若a_n=145，则n=______．

Answer 1

a₂-a₁=5-1=4，a₃-a₂=12-5=7，a₄-a₃=22-12=10，…，由此可知数列{a_n+1-a_n}构成以4为首项，以3为公差的等差数列．
所以a_n+1-a_n=4+3（n-1）=3n+1．
a₂-a₁=3×1+1
a₃-a₂=3×2+1
…
a_n-a_n-1=3（n-1）+1
累加得：a_n-a₁=3（1+2+…+（n-1））+n-1
所以a_n=a₁+3×(n(n−1))/(2)+n-1=1+(3n(n−1))/(2)+n-1=(3n2−n)/(2)．
由a_n=(3n2−n)/(2)=145，解得：n=-(29)/(3)（舍），或n=10．
故答案为：10．