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已知各项均为正数的等差数列{an}满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求同时满足下列条件的所有an的和:①20≤n≤116;②n能够被5整除.

题目详情
已知各项均为正数的等差数列{an}满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求同时满足下列条件的所有an的和:①20≤n≤116;②n能够被5整除.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据题意,等差数列{an}中,a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,
a1+3d=2(a1+d)
a1•(a1+3d)=16

解得a1=2,d=2;
∴数列{an}的通项公式为
an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n;
(2)∵an=2n,
且n同时满足:①20≤n≤116;②n能够被5整除,
∴满足条件的n组成等差数列{bn},
且b1=20,d=5,bn=115,
∴项数为
115-20
5
+1=20;
∴{bn}的所有项的和为
S20=20×20+
1
2
×20×19×5=1350,
∴满足条件的所有an的和为
2S20=2×1350=2700.
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