在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm．

Question

在等差数列{a_n}中，a₃+a₄+a₅=84，a₉=73．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对任意m∈N^*，将数列{a_n}中落入区间（9^m，9^2m）内的项的个数记为b_m，求数列{b_m}的前m项和S_m．

Answer 1

（I）∵数列{a_n}是等差数列
∴a₃+a₄+a₅=3a₄=84，
∴a₄=28
设等差数列的公差为d
∵a₉=73
∴d＝(a9−a4)/(9−4)=(73−28)/(5)=9
由a₄=a₁+3d可得28=a₁+27
∴a₁=1
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+9（n-1）=9n-8
（II）若9m＜an＜92m
则9^m+8＜9n＜9^2m+8
因此9^m-1+(8)/(9)≤n≤9^2m-1+(8)/(9)
故得bm＝92m−1−9m−1
∴S_m=b₁+b₂+…+b_m
=（9+9³+9⁵+…+9^2m-1）-（1+9+…+9^m-1）
=(9(1−81m))/(1−81)−(1−9m)/(1−9)
=(92m+1−10×9m+1)/(80)