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已知abc为△ABC的三边,且满足a^2+2b^2+c^2=ab+ac+bc试判断△ABC的形状
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已知abc为△ABC的三边,且满足a^2+2b^2+c^2=ab+ac+bc试判断△ABC的形状
▼优质解答
答案和解析
由a^2+2b^2+c^2=ab+ac+bc得2a^2+4b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc,移项得
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2+2b^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+2b^2=0
要使上式成立显然应有a-b=b-c=c-a=b=0,这与a、b、c为△ABC的三边矛盾.
如果a^2+2b^2+c^2=ab+ac+bc改成a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc,那么则有
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc,移项得
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
要使上式成立显然应有a-b=b-c=c-a=0,即a=b=c,△ABC为正三角形.
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2+2b^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+2b^2=0
要使上式成立显然应有a-b=b-c=c-a=b=0,这与a、b、c为△ABC的三边矛盾.
如果a^2+2b^2+c^2=ab+ac+bc改成a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc,那么则有
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc,移项得
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
要使上式成立显然应有a-b=b-c=c-a=0,即a=b=c,△ABC为正三角形.
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