设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（-1）nan-12n，n∈N*，则（1）a3=-116-116；（2）S1+S2+…+S100=13(12100−1)13(12100−1)．

Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=（-1）ⁿa_n-(1)/(2n)，n∈N^*，则
（1）a₃=

-(1)/(16)

-(1)/(16)

；
（2）S₁+S₂+…+S₁₀₀=

(1)/(3)((1)/(2100)−1)

(1)/(3)((1)/(2100)−1)

．

Answer 1

由Sn＝(−1)nan−(1)/(2n)，n∈N^*，
当n=1时，有a1＝(−1)1a1−(1)/(2)，得a1＝−(1)/(4)．
当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝(−1)nan−(1)/(2n)−(−1)n−1an−1+(1)/(2n−1)．
即an＝(−1)nan+(−1)nan−1+(1)/(2n)．
若n为偶数，则an−1＝−(1)/(2n)(n≥2)．
所以an＝−(1)/(2n+1)（n为正奇数）；
若n为奇数，则an−1＝−2an+(1)/(2n)＝(−2)•(−(1)/(2n+1))+(1)/(2n)=(1)/(2n−1)．
所以an＝(1)/(2n)（n为正偶数）．
所以（1）a3＝−(1)/(24)＝−(1)/(16)．
故答案为-(1)/(16)；
（2）因为an＝−(1)/(2n+1)（n为正奇数），所以-a1＝−(−(1)/(22))＝(1)/(22)，
又an＝(1)/(2n)（n为正偶数），所以a2＝(1)/(22)．
则−a1+a2＝2×(1)/(22)．
−a3＝−(−(1)/(24))＝(1)/(24)，a4＝(1)/(24)．
则−a3+a4＝2×(1)/(24)．
…
−a99+a100＝2×(1)/(2100)．
所以，S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₉₉+S₁₀₀
=(−a1+a2)+(−a3+a4)+…+(−a99+a100)−((1)/(2)+(1)/(22)+…+(1)/(2100))
=2((1)/(4)+(1)/(16)+…+(1)/(2100))−((1)/(2)+(1)/(22)+…+(1)/(2100))
=2•((1)/(4)(1−(1)/(450)))/(1−(1)/(4))−((1)/(2)(1−(1)/(2100)))/(1−(1)/(2))
=(1)/(3)((1)/(2100)−1)．
故答案为(1)/(3)((1)/(2100)−1)．