某厂家拟举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5-92(x+1)（其中0≤x≤a2-3a+4，a为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入

Question

某厂家拟举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5-(9)/(2(x+1))（其中0≤x≤a²-3a+4，a为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（t+(20)/(t)）万元/万件．
（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知，利润y=t×（4+(20)/(t)）-（10+2t）-x
由销售量t万件满足t=5-(9)/(2(x+1))（其中0≤x≤a²-3a+4，a为正常数），
代入化简可得：y=20-（(9)/(x+1)+x），（0≤x≤a²-3a+4）
（Ⅱ）y=21-（(9)/(x+1)+x+1）≤21-2√((9)/(x+1)×(x+1))=15，
当且仅 (9)/(x+1)=x+1，即x=2时，上式取等号．
当1≤a²-3a+4，即a≥2或0<a≤1时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大； 
当a²-3a+4<2，即1<a<2时，y=(-(x-2)(x+4))/((x+1)2)>0，
故y在0≤x≤a²-3a+4上单调递增，
所以在0≤x≤a²-3a+4时，函数有最大值．促销费用投入x=a²-3a+4万元时，厂家的利润最大．  
综上述，当a≥2或0<a≤1时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；
当1<a<2时，促销费用投入x=a²-3a+4万元时，厂家的利润最大．