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已知函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|（x∈R），且f（a2-3a+2）=f（a-1），则满足条件的所有整数a的和是．
题目详情
已知函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|（x∈R），且f（a2-3a+2）=f（a-1），则满足条件的所有整数a的和是______．
▼优质解答
答案和解析
∵函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|（x∈R），
∴f（-x）=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2011|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2011|
=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|=f（x）
即函数f（x）为偶函数
若f（a2-3a+2）=f（a-1），
则a2-3a+2=a-1，或a2-3a+2=-（a-1）
即a2-4a+3=0，或a2-2a+1=0
解得a=1，或a=3
又∵f（0）=f（1）=f（-1）
∴当a=2时，也满足要求
故满足条件的所有整数a的和是1+2+3=6
故答案为6
∴f（-x）=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2011|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2011|
=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|=f（x）
即函数f（x）为偶函数
若f（a2-3a+2）=f（a-1），
则a2-3a+2=a-1，或a2-3a+2=-（a-1）
即a2-4a+3=0，或a2-2a+1=0
解得a=1，或a=3
又∵f（0）=f（1）=f（-1）
∴当a=2时，也满足要求
故满足条件的所有整数a的和是1+2+3=6
故答案为6
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