验证a1=(1,-1,0),a2=(2,1.3),a3=(3,1,2)是R^3的一组基,并求p=(5,0,7)在这组基下的坐标

Question

验证a1=(1,-1,0),a2=(2,1.3),a3=(3,1,2)是R^3的一组基,并求p=(5,0,7)在这组基下的坐标

Answer 1

令A=(a1^T,a2^T,a3^T).设p在这组基下的坐标为X,则AX=p,因此X=A^-1p,所以可把A和p写成如下形式,通过初等行变换,将A变成单位矩阵,这样,p就变成了A^-1p.
1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 0 8 1 0 0 2
-1 1 1 0 → 0 3 4 5 → 0 3 4 5 → 0 3 0 9 → 0 1 0 3
0 3 2 7 0 3 2 7 0 0 2 -2 0 0 1 -1 0 0 1 -1
由于A的秩为3,所以a1,a2,a3线性无关,因此它们是R^3的一组基,p=(5,0,7)在这组基下的坐标为(2,3,-1)^T.