在数列{an}中，已知a1=-1，且an+1=2an+3n-4（n∈N*）．（1）求证：数列{an+1-an+3}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求和：Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|（n∈N*）．

Question

在数列{a_n}中，已知a₁=-1，且a_n+1=2a_n+3n-4（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1-a_n+3}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求和：S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵a_n+1=2a_n+3n-4（n∈N^*）∴当n≥2时，a_n=2a_n-1+3n-7
两式相减，得，a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）+3，即，a_n+1-a_n+3=2（a_n-a_n-1+3）
∴(an+1−an+3)/(an−an−1+3)=2，
又a₂=2a₁+3-4=-3，∴a₂-a₁+3=1
∴数列{a_n+1-a_n+3}是首项为1公比为2的等比数列．
（Ⅱ）∵数列{a_n+1-a_n+3}是首项为1公比为2的等比数列，
∴a_n+1-a_n+3=2^n-1，
∴a_n+1-a_n=2^n-1-3
∴a_n-a_n-1=2^n-2-3
a_n-1-a_n-2=2^n-3-3
…
a₂-a₁=2⁰-3
∴上面各式累加得a_n-a₁=(1−2n−1)/(1−2)-3（n-1）
∴a_n=2^n-1-3n+1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
a₁=-1，a₂=-3，a₃=-4，a₄=-3，a₅=2，a₆=15，
∴n≥5时，a_n≥0，
∴当1≤n≤4时，
S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+a₃+…+a_n）
=-（2⁰+2¹+…+2^n-1）+3（1+2+3+…+n）-n=-(1−2n)/(1−2)+3•(n(n+1))/(2)-n=1-2ⁿ+(3)/(2)n2+(1)/(2)n，
当n≥5时，
S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-2（a₁+…+a₄）+（a₁+a₂+…+a_n）
=-2（-1-3-4-3）-（1-2ⁿ+(3)/(2)n2+(1)/(2)n），
=21+2ⁿ−(3)/(2)n2−(1)/(2)n
∴s_n=√(1−2n+(3)/(2)n2+(1)/(2)n1≤n≤421+2n−(3)/(2)n2−(1)/(2)n相关问答已知数列an满足a1=7/3,a(n+1)=3a(已知数列an满足an+1=-1/2an+3/2,a已知等比数列｛an｝中,a1+a3＝10,a2+a如图，在Rt△OAA1中，∠OAA1=90&deg7条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4从A1开始顺序输入数列:1,3,5,7,……,59关于求极限方面的问题?求以下极限,并能给出详细过程三个同学对下面这个问题提出了各自的想法。“若方程组limsin6x+xf(x)/x³=0（问个极限方面的问题,在线等lim(sin(ln(x极限的概念方面的问题如果已经有limn-->无限a极限方面的题目6求极限LIMX→33*X的平方-1首页语文数学英语物理化学历史政治生物其他Copyright © 2019 zaojiaoba.cn All Rights Reserved 版权所有 作业搜本站资料来自网友投稿及互联网，如有侵犯你的权益，请联系我们：[e-mail]湘ICP备12012010号)