已知正项数列{an}满足an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1．（1）求a2的值；（2）证明：对任意实数n∈N*，an≤2an+1；（3）记数列{an}的前n项和为Sn，证明：对任意n∈N*，2-12n-1≤Sn<3．

Question

已知正项数列{a_n}满足a_n²+a_n=3a²_n+1+2a_n+1，a₁=1．
（1）求a₂的值；
（2）证明：对任意实数n∈N^*，a_n≤2a_n+1；
（3）记数列{a_n}的前n项和为S_n，证明：对任意n∈N^*，2-(1)/(2n-1)≤S_n<3．

Answer 1

（1）a_n²+a_n=3a²_n+1+2a_n+1，a₁=1，
即有a₁²+a₁=3a²₂+2a₂=2，
解得a₂=(√(7)-1)/(3)（负的舍去）；
（2）证明：a_n²+a_n=3a²_n+1+2a_n+1，
可得a_n²-4a²_n+1+a_n-2a_n+1+4a²_n+1=0，
即有（a_n-2a_n+1）（a_n+2a_n+1+1）+4a²_n+1=0，
由于正项数列{a_n}，
即有a_n+2a_n+1+1>0，4a²_n+1>0，
则有对任意实数n∈N^*，a_n≤2a_n+1；
（3）由（1）可得对任意实数n∈N^*，a_n≤2a_n+1；
即为a₁≤2a₂，可得a₂≥(1)/(2)，a₃≥(1)/(2)a₂≥(1)/(4)，
…，a_n≥(1)/(2n-1)，
前n项和为S_n=a₁+a₂+…+a_n≥1+(1)/(2)+(1)/(4)+…+(1)/(2n-1)
=(1-(1)/(2n))/(1-(1)/(2))=2-(1)/(2n-1)，
又a_n²+a_n=3a²_n+1+2a_n+1>a²_n+1+a_n+1，
即有（a_n-a_n+1）（a_n+a_n+1+1）>0，
则a_n>a_n+1，数列{a_n}递减，
即有S_n=a₁+a₂+…+a_n<1+1+(1)/(2)+(1)/(4)+…+(1)/(2n-1)
=1+(1-(1)/(2n-1))/(1-(1)/(2))=3（1-(1)/(2n-1)）<3．
则有对任意n∈N^*，2-(1)/(2n-1)≤S_n<3．