已知数列{an}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…8}，均有ai+1ai∈{2，1，-12}．（1）记S=a2a1+a3a2+…+a9a8，则S的最小值为．（2）数列{an}的个数为．

Question

已知数列{a_n}共有9项，其中，a₁=a₉=1，且对每个i∈{1，2，…8}，均有(ai+1)/(ai)∈{2，1，-(1)/(2)}．
（1）记S=(a2)/(a1)+(a3)/(a2)+…+(a9)/(a8)，则S的最小值为______．
（2）数列{a_n}的个数为______．

Answer 1

令bi＝(ai+1)/(ai)(1≤i≤8)，则对每个符合条件的数列{a_n}，
满足

8

π

i＝1

b_i=

8

π

i＝1

(ai+1)/(ai)=(a9)/(a1)=1，且b_i∈{2，1，-(1)/(2)}，1≤i≤8．
反之，由符合上述条件的八项数列{b_n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a_n}．
记符合条件的数列{b_n}的个数为N，
由题意知b_i（1≤i≤8）中有2k个-(1)/(2)，2k个2，8-4k个1，
且k的所有可能取值为0，1，2．
（1）对于三种情况，当k=2时，S取到最小值6．
（2）N=1+

C

2 8

C

2 6

+

C

4 8

C

4 4

=491．