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如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是AA1、D1C1的中点,过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l;(1)画出直线l;(2)设l∩A1B1=P,求PB1的长;(3)求D到l的距离.
题目详情
如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是AA1、D1C1的中点,过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l;
(1)画出直线l;
(2)设l∩A1B1=P,求PB1的长;
(3)求D到l的距离.
(1)画出直线l;
(2)设l∩A1B1=P,求PB1的长;
(3)求D到l的距离.
▼优质解答
答案和解析
(1)连接DM并延长交D1A1的延长线于Q.连接NQ,
则NQ即为所求的直线l.
(2)设QN∩A1B1=P,△A1MQ≌△MAD,
∴A1Q=AD=A1D1,A1是QD1的中点.
∴A1P=
D1N=
.∴PB1=
a.
(3)作D1H⊥l于H,连接DH,可证明l⊥平面DD1H,则DH⊥l,则DH的长就是D到l的距离.
在Rt△QD1N中,两直角边D1N=
,D1Q=2a,斜边QN=
a,∴D1H•QN=D1N•D1Q,即D1H=
a,DH=
=
a,∴D1到l的距离为
则NQ即为所求的直线l.
(2)设QN∩A1B1=P,△A1MQ≌△MAD,
∴A1Q=AD=A1D1,A1是QD1的中点.
∴A1P=
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a |
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4 |
(3)作D1H⊥l于H,连接DH,可证明l⊥平面DD1H,则DH⊥l,则DH的长就是D到l的距离.
在Rt△QD1N中,两直角边D1N=
a |
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