一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点A1的正上方有一个光源A，AA1与球相切，AA1=6，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（）A.12B.22C.23D.32

Question

一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点A₁的正上方有一个光源A，AA₁与球相切，AA₁=6，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（　　）
A. (1)/(2)
B. (√(2))/(2)
C. (√(2))/(3)
D. (√(3))/(2)

Answer 1

如图是过锥体的轴与椭圆长轴A₁A₂的截面，根据圆锥曲线的定义，
可得球与长轴A₁A₂的切点是椭圆的焦点F，AA₁⊥A₁A₂
设光线AA₁与球相切于点E，AA₂与球相切于点D，
且A₁F等于内切圆的半径也即球的半径，即A₁E=A₁F=2，AA₁=6，
根据切线长定理得：A₁E=A₁F=2，AE=AD=AA₁-A₁E=4，
设FA₂=x，由三角形面积公式得：(1)/(2)（AA₁+A₁A₂+AA₂）r=(1)/(2)AA₁•AA₂
∴(1)/(2)（2+x+6+4+x）×2=(1)/(2)×6×（2+x）⇒x=6，
∴A₁A₂=8
根据椭圆的几何性质，得长轴A₁A₂=2a=8，⇒a=4，
A₁F是焦点到长轴顶点的距离A₁F=a-c=2，∴c=2，
∴(c)/(a)=(2)/(4)=(1)/(2)，所以所求椭圆的离心率为(1)/(2)
故选A．