已知数列{an}是首项为a1，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，若数列{cosan}是等比数列，则其公比为．

Question

已知数列{a_n}是首项为a₁，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，若数列{cosa_n}是等比数列，则其公比为______．

Answer 1

∵数列{a_n}是首项为a₁，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∵数列{cosa_n}是等比数列，
∴(cosan+1)/(cosan)=(cosa2)/(cosa1)，即(cos(a1+nd))/(cos[a1+(n−1)d])=(cos(a1+d))/(cosa1)①，
∴2cosa₁cos（a₁+nd）=2cos（a₁+d）cos[a₁+（n-1）d]，
积化和差得cos（2a₁+nd）+cosnd=cos（2a₁+nd）+cos（n-2）d，
∴cos（n-2）d-cosnd=0，
和差化积得2sin[（n-1）d]sind=0，对任意的正整数n都成立，
∴sind=0，0＜d＜2π，则d=π．
由①得，公比q=-1．
故答案为：-1．