已知△ABC和△A1B1C1满足sinA=cosA1，sinB=cosB1，sinC=cosC1．（1）求证：△ABC是钝角三角形，并求最大角的度数；（2）求sin2A+sin2B+sin2C的最小值．

Question

已知△ABC和△A₁B₁C₁满足sinA=cosA₁，sinB=cosB₁，sinC=cosC₁．
（1）求证：△ABC是钝角三角形，并求最大角的度数；
（2）求sin²A+sin²B+sin²C的最小值．

Answer 1

（1）由对称性，不妨设A和B为锐角，则A=(π)/(2)-A₁，B=(π)/(2)-B₁，
所以：A+B=π-（A₁+B₁）=C₁，
于是：cosC₁=sinC=sin（A+B）=sinC₁，即：tanC₁=1，解得：C₁=45°，
可得：A+B=45°，
所以：C=135°
所以：△ABC是钝角三角形，且最大角为135°．
（2）由（1）可知，△ABC的三个角中有一个角为135°，设另两个角分别为α，45-α，
则：sin²A+sin²B+sin²C=(1)/(2)+sin²α+sin²（45-α）=(3)/(2)-(1)/(2)（cos2α+sin2α）=(3)/(2)-(√(2))/(2)sin（45°+2α），
故：sin²A+sin²B+sin²C的最小值为(3)/(2)-(√(2))/(2)．