（2010•佛山模拟）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥EBD；（3）在（2）的条件下，如果一只苍蝇在正方体ABCD-A1B1C1

Question

（2010•佛山模拟）已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁上的动点．
（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC₁的中点时，求证：平面A₁BD⊥EBD；
（3）在（2）的条件下，如果一只苍蝇在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内部任意飞，求它在三棱锥A₁-BDE内部飞的概率．

Answer 1

连接AC，设AC∩DB=O，连接A₁O，OE，
（1）∵A₁A⊥底面ABCD，
∴BD⊥A₁A，
又∵BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACEA₁，∵A₁E⊂平面ACEA₁．
∴A₁E⊥BD；（4分）
（2）在等边三角形A₁BD中，BD⊥A₁O，
而BD⊥A₁E，A₁O⊂平面A₁OE，A₁E⊂平面A₁OE，A₁O∩A₁E=A₁，
∴BD⊥平面A₁OE．于是BD⊥OE．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设棱长为2a，
∵E为棱CC₁的中点，由平面几何知识，
得

EO＝√(3)a

A1O＝√(6)a

A1E＝3a

，
∴A₁E²=A₁O²+EO²，∴∠A₁OE=90°．
∴A₁O⊥OE A₁O⊂平面A₁BD，∵BD⊂平面A₁BD，A₁O∩BD=O
∴OE⊥平面EBD，
∵OE⊂平面A₁BD，∴平面A₁BD⊥平面EBD；（9分）
（3）由（2）可知OE是三棱锥A₁-BDE的高，
∴VA1−BDE＝(1)/(3)S△BDE•OE＝(1)/(3)•(1)/(2)•2√(2)a•2√(2)a•sin(π)/(3)•

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