等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn（n∈N*）．有下列命题①若S3=S11，则必有S14=0；②若S3=S11，则必有S7是Sn中最大的项；③若S7>S8，则必有S8>S9；④若S7>S8，

Question

等差数列{a_n}中，首项a₁>0，公差d≠0，前n项和为S_n（n∈N^*）．有下列命题
①若S₃=S₁₁，则必有S₁₄=0；    
②若S₃=S₁₁，则必有S₇是S_n中最大的项；
③若S₇>S₈，则必有S₈>S₉；    
④若S₇>S₈，则必有S₆>S₉
其中正确的命题的个数是（　　）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

Answer 1

①若S₃=S₁₁，则a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁=0，
即4（a₇+a₈）=0，即a₇+a₈=a₁+a₁₄=0，则S₁₄=(14(a1+a14))/(2)=0，故①正确，；    
②∵S₃=S₁₁，
∴3×a₁+(3×2)/(2)d=11×a₁+(11×10)/(2)d，
即8a₁=-52d，则a₁=-(13)/(2)d，则d<0
∴a_n=a₁+（n-1）d=-(13)/(2)d+（n-1）d=d（n-(15)/(2)）
令a_n=d（n-(15)/(2)）≥0，
则n-(15)/(2)≤0可解得n≤(15)/(2)，
∴等差数列{a_n}的前7项均为正数，从第8项开始为负值，
∴使得S_n最大的正整数n为7；故②正确，
③若S₇>S₈，则d<0，且a₈<0，则必有a₉<0，即S₈>S₉成立，故③正确，
④若S₇>S₈，则d<0，且a₈<0，即a₇+a₈+a₉=3a₈<0，即S₆>S₉成立，故④正确，
故选：D